千葉県柏市の進学塾｜エクセレントゼミナール

　今日は「分数の計算」に入る前の最後の確認事項として、整数どうしの最小公倍数や最大公約数を見つけるための基本法である、「連除法」について書いてみたいと思います。

 

　①２つの整数の最大公約数、最小公倍数の見つけ方

 

　たとえば、９６と１５６の最大公約数と最小公倍数を見つけるには、９６と１５６の両方を割ることのできる整数で次々に割っていきます。 

 

 　　となり、８と１３は１以外の約数を持ちません（互いに素と呼びます）から、もう割れませんね。

　このとき、９６と１５６を割った数の２と２と３をかけた数、すなわち１２が９６と１５６の最大公約数になります。また、最大公約数の１２に８と１３をかけた数、すなわち１２４８が９６と１５６の最小公倍数になります。ここまでは、「そんなの、わかっているよ」というところですよね。では、３つの整数ではどうでしょうか。９６と１４４と１５６の３つの整数の最大公約数と最小公倍数を同じように求めてみましょう。

 

　②３つの整数の最大公約数、最小公倍数の見つけ方

　 

 

　さて、この時点で８と１２と１３は互いに素（１以外に約数を持たない）になりましたから、やはり最大公約数は２×２×３＝１２です。では最小公倍数は、１２×８×１２×１３＝１４９７６なのでしょうか。違いますよね。３つ以上の整数の最小公倍数を求めるときには、さらに割る必要があるんでしたよね。つまり、 

　

  

　まで割って、２×２×３×２×２×２×３×１３＝３７４４が９６と１４４と１５６の最小公倍数です。もちろん、最大公約数は２×２×３×２×２＝４８ではなく、上で求めたように１２ですよ。

 

　このように、２つの整数の最大公約数・最小公倍数の連除法と３つ以上の整数の最大公約数・最小公倍数の連除法は、すこし違うことに注意しましょう。これを同じようにやってしまって間違える生徒は多いですからね。それでは、続きはまた。

　今日は約数の個数について書いていきます。前回は「エラトステネスの篩（ふるい）と素数」について書いたわけですが、すべての整数は素数の積で書き表すことができます。そして、整数を素数の積で表すことを「素因数分解」と呼びます。この素因数分解はとても大事な概念であり、昔は小学校で習い、少し前は中１で、今では中３の最初に習います。

　ということは、小学生は分数の通分や約分を「何となく」やっているわけです。ですから小学校では、答えを既約分数（それ以上約分できない分数）で答えなくてもマルなのです。「えっ、そうだったの」と思われる方も多いと思いますが、それが日本の標準的な教育であるということを親が認識しておかないと、子どもとしては理不尽に注意された気になりますから注意してください。ただし分数の約分や通分を学習するのは、小学校では６年生になってからですから・・・・・普通に小学校の進度で勉強していたら中学入試には間に合わないわけで・・・・・だから中学受験的には４年生の２学期には分数の計算をできるようにしてしまうわけです。

 

　というわけで、今日の本題である約数の個数の話に行きましょう。

 

　（３）「約数の個数」について

 

　　「４８の約数の個数は何個ですか」という問題を解くと、４８という整数は

 

　　　１×４８

　　　２×２４

　　　３×１６

　　　４×１２

　　　６×８

 

　のように表すことができますから、４８の約数は、１，２，３，４，６，８，１２，１６，２４，４８の１０個です。このぐらいの大きさの数ならば、このように書いていったほうが間違えませんよね。

 

　じゃあ「３０２４の約数の個数は何個ですか」という問題を同じように解くと、

 

　　　１×３０２４

　　　２×１５１２

　　　３×１００８

　　　４×７５６

　　　６×５０４

　　　７×４３２

　　　８×３７８

　　　９×３３６

　　　　・

　　　　・

　　　　・

 

　もうやめましょう・・・・・時間と行数ばかりかかります。う〜ん、一発で出す方法はないかなあ、となりますね。実はあるんです。

　３０２４を素因数分解すると、２×２×２×２×３×３×３×７ですから、２を４個、３を３個、７を１個かけた数ですよね。ですから、３０２４の約数の個数は

 

　　（４個＋１）×（３個＋１）×（１個＋１）＝５×４×２＝４０個

 

　このやり方は高校数学では定番なのですが、中学入試でも上位難関校では出題されることがあります。きちんとした理屈は「式の展開」という方法を習ってからでないとわからないのですが、覚えておいて損はない方法です。この方法を４８にあてはめて解いてみると、４８＝２×２×２×２×３ですから、２を４個、３を１個かけた数なので、４８の約数の個数は、

 

 

　数え上げなくても約数の個数がわかります。というわけで、難しい話になりましたが、難関中学受験生は覚えておいてください。では、今日はこの辺で。

　今日は素数の見つけ方についてです。素数は「１とその数以外の約数を持たない数」のことですが、ここをきちんと学習しないと算数でも数学でもつまづいてしまいます。ところが学習指導要領の改訂によって、以前は中１で学習していた素因数分解が、今は中３で学習することになってているため、こういった基本的なことを知らない中学生が多数存在します。そういう意味で、お父さんやお母さんが習っていた頃よりもずっとカリキュラムが易しくなっていますので、こうしたことが日本の数学力が落ちている一因ではないかと、私はつねづね思っています。

 

 (2)素数の見つけ方について

 

　素数を小さいほうから並べると

 

　２，３，５，７，１１，１３，１７，１９，２３，２９，３１，３７，４１，４３，４７・・・・・

 

　と続きます。これらを求めるには、エラトステネスという大昔のギリシャ人が発明した「エラトステネスの篩（ふるい）」を使います。

　たとえば、１〜１００までの数に含まれる素数を求めてみましょう。

　まず、１〜１００までの数を書き並べます。次に、１〜１００の中で１は素数ではありませんから消します。

　すると、残った数の中で最初の数は２ですから、２は素数です。次に残っている３〜１００の中で２の倍数を消します。

　すると、それでも残っているもっとも小さい数は３ですから、３は素数です。さらに残った数から３の倍数を消します。

　すると

 

　５、７，１０，１１，１３，１７，１９，２３，２５，２９，３１，３５，３７，４１，４３，４７，４９，５３，５５，５９，６１，６５，６７・・・・・

 

　が残っているはずです。

　ですから、残っている数で最も小さい５は素数です。そして、残っている数から５の倍数を消しても残る数のうち最も小さい数は７ですから、７は素数です。このように次から次へと整数を素数の篩（ふるい）にかけていくと、残った数が素数の集合になります。ですから１〜１００までの数のうち素数は

 

　２，３，５，７，１１，１３，１７，１９，２３，２９，３１，３７，４１，４３，４７，５３，５９，６１，６７，７１，７３，７９，８３，８９，９７になります。

 

　これらの素数は、計算の基礎になる大事な数ですから、少なくとも５０以内の素数は暗記しておきましょう。というわけで、次回は「約数の個数」について書いていきます。では、また。

　今日は「計算」についての続きです。今回は分数の計算についてですが、分数は慣れると一番「楽ができる」計算法ですから、計算のコツについて詳しく書いていきたいと思います。

 

　③「分数の計算」を間違えたときの注意点

 

　　分数の計算を間違える理由にはいろいろありますが、主な理由は「約分と通分」がヘタなため、つまり「約数と倍数」がすぐに見分けられないことに原因がある場合が多々見られます。そこで、「約数と倍数」の話に寄り道したいと思います。

 

　（１）倍数の見つけ方について

 

　２の倍数系列

　　２の倍数・・・・・下１ケタが０，２，４，６，８など２の倍数になっている（０倍を含みます）

　　４の倍数・・・・・下２ケタが００，０４，０８・・・・・９２，９６など４の倍数になっている（０倍を含みます）

　　８の倍数・・・・・下３ケタが０００，００８，０１６，０２４・・・・・９９２など８の倍数になっている（０倍を含みます）

　　１６の倍数・・・・・下４ケタが００００，００１６，００３２・・・・・９９８４など１６の倍数になっている（０倍を含みます）

 

　３の倍数系列

　　３の倍数・・・・・各位の数字の和が３の倍数になっている

　　９の倍数・・・・・各位の数字の和が９の倍数になっている

 

　その他の倍数系列

　　５の倍数・・・・・下１ケタが０か５の５の倍数になっている（０倍を含みます）

 

　７や１１や１３の倍数の見分け方というのも存在するのですが、それらは６ケタや７ケタの整数を判別するために使う方法で、大学入試レベルの整数の話になってしまうため、ここでは扱いません。ちなみに３や９の倍数の見つけ方は、難関高校（早稲田や慶応）の数学の入試問題では証明問題として出題されることもありますから、中学入試でも上位校の受験を考えている生徒は、なぜそうなるのかという理由も含めて理解しておく必要があります。

　きりが良いので、今日はここまでにして、次回は（２）素数の見つけ方について、その次は（３）約数の個数の見つけ方について、と「約数と倍数」についての話を続けます。ほとんどウェブ授業のようになってきましたが、役に立つ話ですからガマンして読んでくださいね。それでは、また。

　今回は「計算」について書いてみたいと思います。「計算」とは「正確に、速く、できるだけ楽をして、数値を求めること」です。生徒の発達段階に応じて、「正確に」が求められるのか、「速く」が求められるのか、「できるだけ楽をして」が求められるのかが変わってきますから、この点に注意して指導する必要があります。

　また、「計算」と「暗算」や「筆算」は違うことにも注意しなければいけません。つまり、「計算」というカテゴリー（分野）の中に「暗算」や「筆算」という項目があるわけです。算数の問題を間違えたときに「式を間違えた」のであれば、基本となる考え方が違うことになり、「計算を間違えた」のであれば、式を計算する過程で、「暗算を間違えた」のか、「筆算を間違えた」のか、「途中で書き間違えた」のかに区別されるわけです。

　では、「計算」を間違えた理由を単元別にくわしく見ていくことにしましょう。

 

　①「整数の計算」を間違えたときの注意点

 

　整数の計算では、「暗算」と「筆算」のどちらを間違えたのかが重要です。

　「暗算」を間違えた場合には、足し算や引き算の繰り上がりや繰り下がりで間違えた可能性が高く、かけ算や割り算で間違えたのならば、九九が不完全か、倍数や約数の勘違いによるものがほとんどです。

　「筆算」を間違えた場合には、筆算の形式が違う場合がありますので特に注意が必要です。特に末尾に０を含んだ２ケタや３ケタのかけ算は小学校での問題演習が不十分なため、筆算のやりかたに問題がある場合も多々ありますから、注意してください。

 

　②「小数の計算」を間違えたときの注意点

 

　小数の計算では、「筆算」のやりかたがきちんとわかっているかが重要です。

　小数どうしの足し算や引き算では、小数点の位置をそろえて計算しているかどうかが重要であり、小数どうしのかけ算では、答えの小数点の位置の取り方がきちんとわかっているかが重要です。

　そして苦手な生徒が多いのが、小数がからんだ割り算です。答えが割り切れるときはまだ良いのですが、あまりの出る小数どうしの割り算がきちんとできる小学生は少ないですから、以下に挙げた問題で、「筆算力」をチェックすると良いでしょう。

 

　　(１)　４÷０．０１２５＝

 

　　(２)　０．３２÷０．１２５＝

 

　　(３)　８÷０．１２２＝

　　（商は整数で、あまりも求めよ）

 

　　(４)　０．４３÷７＝

　　（商は小数第３位まで、あまりも求めよ）

 

　　(５)　０．２８４÷０．１８＝

　　（商は小数第２位まで、あまりも求めよ）

 

というわけで、今日はここまでにします。

 

 

 

※答えは

(１)３２０

(２)２．５６

(３)６５あまり０．０７

(４)０．０６１あまり０．００３

(５)１．５７あまり０．００１４

　前回は「単位の概念」についてでした。今回は「メートル法」についてです。「メートル法」の単位換算が確実にできるようになるためには、「メートル法」がどのように決められたのかを知ると、算数だけでなく理科や社会にも応用が利きますから、よく覚えておいてください。

 

　③「メートル法」を認識しましょう

 

　「メートル法」の換算で一番大事なのは「ｋ（キロ）という文字がついたら、次についている単位を１０００倍しなさい」、「ｍ（ミリ）という文字がついたら、次についている単位を１０００分の１にしなさい」ということです。つまり、１ｋｍは１ｍの１０００倍、１ｍｍは１ｍの１０００分の１になるわけです。

 

　では、メートルという単位はどのようにして決められたのでしょう。

 

　単位がバラバラだと非常に困ったことになるのは前回書きましたが、メートル法は１８世紀の終わりにフランスで決められました。「世界中で使われる統一単位」を考えるために、フランスの科学者たちが一生懸命考えた末に、まず長さの単位であるメートル（ｍ）が決められました。

 

　長さの単位メートル（ｍ）は北極から赤道までの子午線の長さを１万ｋｍとして決めました。ですから、地球１周が４万ｋｍなのです。

 

　次に決めたのが、かさの単位であるリットルです。内径が１辺１０ｃｍの立方体の升（ます）に入る水の量を１リットルとしたのです。

 

　最後に、１リットルの水の重さを１ｋｇとしました。ですから、１立方センチメートルの水の重さが１ｇなのです。

 

　このようにして、長さ（メートル）、かさ（リットル）、重さ（グラム）の基本単位が決められたのです。ちなみに、「ｃ（センチ）という文字がついたら、次についている単位を１００分の１にしなさい」、「ｄ（デシ）という単位がついたら、次についている単位を１０分の１にしなさい」という意味ですが、日常的に使うのはセンチメートルとデシリットルぐらいですから、この２つの単位換算だけを覚えておけば良いでしょう。

 

　さて、それでは広さ（面積）の単位はどうなっているのでしょう？

 

　これも１平方メートル（たて１メートル、横１メートルの正方形の広さ）をもとにして決めています。

 

　１平方メートルが１ｍ×１ｍの広さ

 

　１アールが１０ｍ×１０ｍの広さ

 

　１ヘクタールが１００ｍ×１００ｍの広さ

 

　１平方キロメートルが１ｋｍ×１ｋｍの広さ、つまり１０００ｍ×１０００ｍの広さ

 

　となっています。だから、１平方メートルの１００倍が１アール、１アールの１００倍が１ヘクタール、１ヘクタールの１００倍が１平方キロメートルとなるわけです。

 

　最後にかさ（体積）の単位はどうなっているのでしょう？

 

　これも広さ（面積）の単位と同じように考えればいいのです。

 

　１立方センチメートルが１ｃｍ×１ｃｍ×１ｃｍの立方体の体積で、液体の場合は１ｃｃとも表します

 

　１立方メートルが１００ｃｍ×１００ｃｍ×１００ｃｍの立方体の体積

 

　１リットルが１０ｃｍ×１０ｃｍ×１０ｃｍのかさを表す立方体の体積であることはすでに述べましたから、やはり立方体の１辺の基本の長さは１０倍ごとに増えています。

 

　ですから、１立方センチメートルの１０００倍が１リットル、１リットルの１０００倍が１立方メートルつまり１０００リットルとなるわけです。

 

　単位で最も大切なことは、その大きさをイメージできるようになることです。たとえば、１アールという広さは大体テニスコート１面分ぐらいの広さです。２００リットルというかさは、家庭用のお風呂に入るお湯の体積です。同じように、時速４ｋｍならば子どもの徒歩の速さですし、時速２０ｋｍならば自転車の速度、時速４０ｋｍで自動車の速さというように、大体の単位の目安がわかっていることが重要です。なぜなら、速さや体積などの計算をしているうちに、ケタを間違えて計算して、答えが大きくなりすぎたり小さくなりすぎたりしても、計算間違いをしていることに気づくからです。というわけで、単位は身近なものですから、自分の身の回りにあるものがどれくらいの広さや体積なのかを普段から気をつけて見てみましょう。